PROPORCIONALIDAD DIRECTA. REPRESENTACIÓN

 RAZÓN Y PROPORCIÓN

Una razón de dos números, dados en un cierto orden, es el cociente indicado entre ambos.

Una proporción es la igualdad de dos razones:

En una proporción siempre se cumple que el producto de los medios es igual al producto de lo extremos.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Definición 1: Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar el valor de una de ellas por un número dado, el correspondiente valor de la otra queda también multiplicando por el mismo número.

Definición 2: Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de los pares de los valores correspondientes se mantienen constantes. A este valor se le llama razón de proporcionalidad directa.

Definición 3: Al dividir los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales, se obtiene siempre un mismo número, llamado constante de proporcionalidad directa.

RELACIÓN DE PORPORCIONALIDAD INVERSA

Definición: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar el valor de una de ellas por un número dado, el correspondiente valor de la otra queda dividido por ese mismo número.

PENSAMOS JUNTOS

Durante el mes de agosto, Margarita se desplaza a diario en bicicleta desde su casa a la playa, que se encuentra a 10 Km. El primer día estaba un poco desentrenada y tardó una hora en hacer el recorrido, es decir, fue a una velocidad de 10 Km/h. En el segundo día se hallaba en mejor forma y duplicó la velocidad. 

Solución:

Como Margarita fue el doble de rápido , tardó la mitad de tiempo. Observa que , al multiplicar la velocidad  por un número dado, el tiempo empleado en recorrer la misma distancia se divide por dicho número. Así pues, tiempo y velocidad son magnitudes inversamente proporcionales.

¿Cuánto tardaría Margarita si fuese al triple de velocidad?

CONSTANTE DE PROPORCINALIDAD INVERSA

Definición: Al multiplicar los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, se obtiene siempre un mismo número, llamado constante de proporcionalidad inversa.

Ejemplo:

Andrés alquila un autobús por 600€ para hacer una excursión con los alumnos. El dinero que debe pagar cada uno depende del número total de excursionistas:

Número de excursionistas	5	10	15	20	25
Precio por persona (€)	120	60	40	30	24

Estas magnitudes son inversamente proporcionales porque, como el alquiler del autobús tiene un perico fijo, al multiplicarse el número de excursionistas, lo que paga cada uno de ellos se divide en la misma proporción.

El producto de las cantidades relacionadas siempre es el mismo y se denomina constante de proporcionalidad inversa. En este ejemplo:

5 *120 = 10*60 = 15 * 40 = 20 *30 =25 *24 =600 

ACTIVIDAD: 

La superficie de un tablero de parchís y la longitud de su lado no son directamente proporcionales. Cuanto más largo sea el lado, más superficie tendrá el tablero; sin embargo, si aumentamos el lado al doble, al tablero no le corresponde el doble de superficie. ¿Qué superficie crees tú que le corresponderá?

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes , A y B, son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir por cualquier cantidad una de ellas, la cantidad correspondiente a la otra también queda multiplicada o dividida por dicha cantidad.

PIENSA Y DEDUCE:

Por 4 entradas para visitar un museo se han pagado 40 €. Completa los datos que faltan en la siguiente tabla:

Nº de entradas	2	4	8	12
Coste (€)		40

Nota: El coste la compra es directamente proporcional al número de entradas compradas

REPRESENTACIÓN DE MAGNITIDES EN EL PLANO

PUNTOS EN UN PLANO

Un punto en el plano se representa por dos coordenadas: la primera sobre el eje X y la segunda sobre el eje Y.

LENGUAJE MATEMÁTICO: Si las coordenadas de un punto A, son 2 y 3, se escriben de este modo : A (2,3) ; donde 2 es la abscisa y 3 la ordenada.

REPRESENTACIÓN DE MAGNITUDES

Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a un valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda magnitud.

La magnitud fijada previamente se denomina variable independiente, y la que depende de ella, variable independiente.

REPRESENTACIÓN DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, es decir, a cada variable le corresponde otra, se trata de una función llamada función de proporcionalidad directa

Representar una función gráficamente una función se utiliza un sistema de coordenadas:

1. En el eje X se indica la variable independiente
2. En el eje Y la variable dependiente
3. Se dibuja cada par de valores como puntos del plano

Definición: La relación que existe entre dos magnitudes directamente proporcionales es una función que se llama función de proporcionalidad directa.

Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen

La ecuación de la función de proporcionalidad es de la forma  y = mx, donde m es el valor de la razón de proporcionalidad e indica la pendiente o inclinación de la recta.

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

En este tipo de problemas se parte de dos magnitudes que guarda entre sí una relación directa . De una de ellas conocemos dos valores, y de la otra , uno, el correspondiente a uno de los dos valores de la primera magnitud.

Con estos datos, hay que averiguar el valor que falta de la segunda magnitud.

Procedimiento para resolver estos problemas:

1. Por reducción a la unidad
2. Planteando una proporción o regla de tres.

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Consiste en averiguar el valor que le corresponde a una sola unidad, es decir, la constante de proporcionalidad. Conociendo ese valor, se puede averiguar cualquier otro valor.

Ejercicio:

Si se pagan 60 céntimos por 5 chicles, ¿Cuánto cuestan 8 chicles?

Solución: 96 céntimos de euro

REGLA DE TRES

Consiste en plantear una proporción entre la razón formada por dos cantidades de una de las dos magnitudes y la razón formada por las cantidades correspondientes de la otra magnitud.

Ejercicio:

En el cartón de una determinada marca de la leche desnatada se informa de que 100 mL contienen 4,8g de grasa. Según esto, ¿Cuántos gramos de grasa contendrá un vaso de 250 mL?

Solución: 12 g de grasa

Nota: Al resolver un problema de proporcionalidad directa, los datos correspondientes a cada magnitud tienen que estar expresados en la misma unidad.

Definición: Una regla de tres simple directa se relacionan tres cantidades conocidas (A, B,C) y otra desconocida (x), de manera que:

Si a A le corresponde B, a C le corresponderá x, donde x= (B*C)/A

Ejercicio: 50 Gallinas consumen 5 kg de pienso , 120 gallinas consumirán x kg de pienso.

Solución: 12 Kg de pienso por día.

Definición: En una regla de tres simple inversa se relacionan tres cantidades conocidas (A,B,C) y otra desconocida (x), de manera que: 

Si a A le corresponde B, a C le corresponderá x, dónde x = (A*B)/C

Ejercicio: Con 50 gallinas el pienso dura 12 días , con 120 gallinas el pienso durará x días.

Solución:  5 días

GEOGEBRA: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

PORCENTAJES

PIENSA Y DEDUCE:

El 82% de los estudiantes aprueban la Selectividad en la convocatoria de Junio.

Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

• Se han presentado solamente 100 estudiantes a la prueba de la selectividad y han aprobado 82.
• Por cada 100 estudiantes presentados a la prueba de selectividad han aprobado 82.

Definición 1: Un porcentaje o tanto por ciento es una razón que se refiere a tantas unidades por cada cien. Se abrevia con el signo %

Definición 2: El porcentaje o tanto por ciento de una cantidad puede obtenerse a través de una regla de tres simple directa.

AUMENTOS O INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Para calcular un aumento porcentual, se suma al 100% el porcentaje que se aumenta y se halla el porcentaje resultante.

Ejercicio:

El número de nacimientos anuales registrados en un hospital se ha incrementado un 12% con respecto al año anterior. Si entonces vinieron al mundo 2.500 bebés, ¿ cuántos habrán nacido este año?

Para calcular una disminución porcentual, se resta al 100% el porcentaje que se disminuye y se haya el porcentaje resultante.

Ejercicio:

En una tienda se han rebajado en un 20% unos pantalones que antes costaban 30€. ¿Cuánto costarán ahora?

PROBLEMAS DE ESCALAS

los planos, mapas y maquetas guardan una relación de proporcionalidad directa con lo que representan.

Definición: La escala es el cociente indicando entre una distancia en un plano, mapa o maqueta y la distancia real que representa.

Ejemplo: 1:200, la escala significa: 1 metro del plano son 200 metros de la realidad.