ESTADÍSTICA

 POBLACIÓN Y MUESTRA. VARIABLES

PIENSA Y DEDUCE

Imagina dos estudios, uno cuyo objeto es conocer la altura de todos madrileños y otro que pretenden determinar el color de sus ojos de los alumnos de un instituto; ¿Cuál de los dos sería más fácil de realizar?

Para el estudio de los madrileños, ¿a cuántos individuos medirías?

CONCEPTOS PARA UN ESTUDIO ESTADÍSTICO

La población es el conjunto de todos los individuos sobre los cuales se quieren estudiar una característica.

Cuando es imposible estudiar a toda la población, se toma una parte de la misma denominada muestra.

Tipos de muestra:

• Muestra exhaustiva: se analizan todos los individuos de una población
• Muestra estratificada: se eligen partes de la población que cumplen cierta característica (misma edad, misma ciudad...)
• Muestra aleatoria: se eligen individuos totalmente al azar.

La característica que queremos analizar se denomina variable estadística.

Tipos de variables estadísticas:

• Cuantitativa, si sus valores son números
• Cualitativa, si sus valores no son números, sino cualidades.

Los valores de una variable estadística se llaman datos estadísticos.

TABLAS DE FRECUENCIAS

Para organizar y clasificar los datos estadísticos elaboramos una tabla de frecuencias. La frecuencia de un  dato estadístico puede ser absoluta, relativa o porcentual.

• La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite.
• La frecuencia relativa es el cociente que resulta de dividir la frecuencia absoluta entre el tamaño de la población.
• La frecuencia porcentual es el producto de la frecuencia relativa por 100.

DIAGRAMAS DE BARRAS

Un diagrama de barras es un gráfico en cuyo eje horizontal se representan los distintos valores de la variable estadística, y el eje vertical muestra sus frecuencias absolutas. A continuación, se trazan diferentes barras que indican la frecuencia absoluta de cada valor estadística.

Pasos a seguir para construcción del diagrama:

1. Se dibujan dos ejes de coordenadas
2. Se sitúan los datos en el eje horizontal y las frecuencias absolutas en el vertical
3. Se traza sobre cada dato una barra cuya altura coincida con su frecuencia absoluta.

Problema: Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los resultados de la siguiente tabla de frecuencias:

Elaborar una gráfica de barras a partir de dichos resultados.

Solución:

En el eje horizontal (x), colocamos los valores de la variable, es decir, los colores preferidos: negro, azul, amarillo y rojo. En el eje vertical (y), colocaremos la frecuencia. Dado que el problema no indica cuál frecuencia utilizar, absoluta, relativa o porcentual, realizaremos los 3 gráficos.

Veamos primero el diagrama de barras con frecuencia absoluta.

Ahora veamos el diagrama de barras con frecuencia relativa.

Finalmente, viene el diagrama de barras con frecuencia porcentual.

Polígono de frecuencias

Es un gráfico que se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras mediante segmentos de recta. El polígono de frecuencias es de mucha utilidad cuando se representa más de una serie en una misma gráfica.

DIAGRAMA DE SECTORES

En un diagrama de sectores se representan las frecuencias relativas de los diferentes valores de una variable estadística. El ángulo que abarca cada sector circular, se calcula así:

ángulo = frecuencia relativa *360ª

Pasos a seguir para construcción del diagrama:

1. Se dibuja una circunferencia. 
2. Se reparte de forma proporcional la amplitud de círculo, 360ª, entre las frecuencias de los distintos datos.
3. Con el transportador de ángulos, se dibujan los sectores circulares, que luego se colorean, identificando cada dato y su frecuencia.

El ángulo central de cada sector, es proporcional a la frecuencia. Se calcula de la siguiente manera, teniendo en cuenta la frecuencia a graficar:

Con los datos del problema anterior, elaborar un gráfico circular con las frecuencias porcentuales. Recordemos la tabla de frecuencias inicial:

Solución:

Usaremos la frecuencia porcentual. Calculemos el ángulo central de cada sector:

Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales, y dibujamos el gráfico.

MODA Y MEDIA

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética de un conjunto de datos cuantitativos se obtiene así:

• Se multiplica primero cada dato por su frecuencia absoluta y se suman los resultados.
• A continuación, se divide la suma anterior entre el número de datos.

Su fórmula es la siguiente:

Aunque la fórmula parezca complicada, calcular el valor de la media es muy sencillo.

Ejemplo 1

Calcular la media de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.

Ejemplo 2

Las edades de 8 niños que van a una fiesta son: 2, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 10. Hallar la edad media:

Ejemplo 3

En un examen calificado del 0 al 10, 3 personas obtuvieron 5 de nota, 5 personas obtuvieron 4 de nota, y 2 personas obtuvieron 3 de nota. Calcular la nota media:

MODA

La moda de un conjunto de datos estadísticos es el dato, o datos, que más se repite, es decir, el de mayor frecuencia absoluta.

La moda se representa con las letras: Mo.

Ejemplo 4

Calcular la moda de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.

Podemos ver que el valor que más se repite es el 7, ya que tiene una frecuencia absoluta de 2, por lo tanto, Mo = 7.

Ejemplo 5

En un examen calificado del 0 al 10, 3 personas obtuvieron 5 de nota, 5 personas obtuvieron 4 de nota, y 2 personas obtuvieron 3 de nota. Calcular la moda.

Solución:

Los datos son los siguientes: 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3.

El valor que más se repite es el 4, que aparece 5 veces, por lo tanto, Mo = 4.

¿Y si hay varias modas?

Si en un grupo de datos, dos o más valores tienen la misma frecuencia, y es la frecuencia máxima, entonces la distribución tiene dos o más modas y decimos que es bimodal (2 modas), o multimodal (varias modas).

Ejemplo 6

Calcular la moda de los siguientes datos: 3, 4, 4, 6, 7, 7, 9, 11.

Solución:

Como vemos, hay 2 valores que se repiten 2 veces, el 4 y el 7, por lo tanto, los valores de la moda son Mo = 4; 7.

¿Y si todos los valores tienen la misma frecuencia?

Si todos los valores tienen la misma frecuencia, entonces, no hay moda.

Ejemplo 7

Encontrar la moda de los siguientes datos: 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7.

Todos los valores tienen una frecuencia de 2, por lo tanto, no hay moda.

RANGO Y MEDIANA

El rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre el dato mayor y el menor.

La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando todos los datos están ordenados en orden creciente o decreciente.

La mediana se representa con las letras: Me.

Ejemplo 8

Calcular la mediana de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.

Solución:

Ordenamos los datos de menor a mayor: 4, 6, 7, 7, 11.

Ahora tomamos el dato que se encuentra al centro: 4, 6, 7, 7, 11.

El valor de la mediana es: Me = 7.

¿Y si la cantidad de datos es un número par?

En ese caso, la mediana es la media entre los dos valores centrales.

Ejemplo 8

Calcular la mediana de los siguientes datos: 3, 6, 7, 9, 4, 4.

Solución:

Primero ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 4, 4, 6, 7, 9.

La cantidad de datos es 6, es decir, un número par, así que vamos a ubicar los 2 valores centrales: 3, 4, 4, 6, 7, 9.

Entonces, la moda sería la media entre 4 y 6:

Ejemplo 10

En un examen calificado del 0 al 10, 3 personas obtuvieron 5 de nota, 5 personas obtuvieron 4 de nota, y 2 personas obtuvieron 3 de nota. Calcular la mediana.

Solución:

Primero hacemos una lista de las notas obtenidas: 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3.

Ahora ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.

Como el número de datos es par (10), entonces nos enfocamos en los 2 valores centrales: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.

Finalmente, encontramos la media de estos 2 valores centrales:

Si al momento de calcular la mediana, ordenas los datos en forma decreciente o descendente, obtendrás el mismo resultado que al hacerlo de forma creciente o ascendente .

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